(mathrm{(2x-3y)^6}) açılımında terimlerden biri  (mathrm{80.A.x^4.y^2}) olduğuna göre A sayısı kaçtır?A)15B) 18C) 27D) 36E) 45

• Newton Binom Teoremi Nedir?

Newton Binom Teoremi, iki terimin toplamının üssü pozitift veya negatif tam sayı ise açılımında bulunan terim sayısını ve her terimin genel biçimini bulmaya yarayan bir teoremdir. Formülü şu şekildedir:

(({a+b})^n=\sum_{k=0}^nk\binom{n}{k}a^{(n-k)}b^k)

Burada, (a), (b): açılacak iki terim, (n) : terim sayısı, (k): toplamların katsayısı, ({n}\choose{k}) : k'inci terimin katsayısıdır ve binom katsayısı olarak adlandırılır. Binom katsayısı, k'inci toplamın sayısı ile tüm elemanların sayısının oranı olarak tanımlanır. (n\choose{k}) formülü ile hesaplanır.

(n\choose{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!})

(nfaktöriyel)= (n!)= (n(n-1)(n-2)...*1)

• Binom Teoremi Uygulama: Soru Örneği

Soru: (1+x)^9 açılımında x^4 teriminin kat sayısını bulalım.

Cevap:

1. n'i 9, x'i değişken olarak belirleyelim ve Newton Binom Teoremi formülümüzü bu ifadelerle yazalım:

$$(1+x)^9=\sum_{k=0}^9k\binom{9}{k}1^{(9-k)}x^k$$ 2. Sonrasında da 1'in üssü yerine 9-k, k'inci terimin katsayısı yerine de k.(9\choose{k}) yazarak yazdığımız formülümüzü yeniden düzenleyelim:

$$(1+x)^9=\sum{k=0}^9k\binom{9}{k}1^{(9-k)}x^k=$$ $$\sum{k=0}^9k\binom{9}{k}x^k$$ 3. Toplam işaretini çıkardıktan sonra her bir terimin katsayısını x^4 teriminin katsayısıyla karşılaştıralım:

$$k.\binom{9}{k}, k=4$$ 4. K'inci terimin kat sayısı olan (k\binom{9}{k})'yi (9\choose{4}) olarak yazabiliriz.

$$4.\binom{9}{4}=4\frac{9!}{4!(9-4)!}$$ $$4\frac{9!}{4!5!}=4\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!}{4!5!}=4\cdot9\cdot8\cdot7=2016$$ 5. Dolayısıyla (1+x)^9 açılımındaki x^4 teriminin katsayısı 2016'dır.

• Açılımdaki Özel Terim

Newton Binom Teoremi aynı zamanda formülde bulunan belirli bir terimi bulmakta da kullanılabilir.

Soru: (2x+y)^6 açılımında x^4.y^2 terimi olsun. A sayısı kaçtır?

A) 15, B) 18, C) 27, D) 36, E) 45

Cevap: C) 27

Çözüm:

x^4.y^2 teriminin katsayısı için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

$$k\binom{n}{k}$$

1. n ve k değerlerini belirliyoruz:

n=6 ve k=4

2. 4.(6\choose{4}) ifadesini açarak çarparız: $$4\frac{6!}{4!(6-4)!}=4\frac{6!}{4!2!}=4\frac{6\cdot5\cdot4!}{4!2\cdot1}=4\cdot6\cdot5=120$$ 3. Bulduğumuz bu değer A sayısıdır. Yani A sayısı 120'dir.