(mathrm{i^2=-1})  ve m,n birer gerçek sayı olmak üzere, (mathrm{2x^2+mx-3n=0})  denkleminin bir kökü (mathrm{-1+i}) olduğuna göre, m.n kaçtır?A)(mathrm{large-frac{16}{3}}) B) (mathrm{-3}) C) (mathrm{large-frac{2}{3}}) D) (mathrm{largefrac{8}{3}}) E) (mathrm{largefrac{16}{9}})

1. Verilen Denklem:

(2x2 + mx - 3n = 0)

2. Bir Kökünüz Biliyorsanız Diğerini Bulun:

Denklemdeki x'in yalnızca bir tane karekökünü biliyoruz: (-1 + i). Bu, denklemin diğer kökünün (-1 - i) olması gerektiği anlamına gelir.

3. *(x - a) (x - b) Formülü:**

Bir ikinci dereceden denklemin iki kökü varsa, denklemi (x - a) * (x - b) = 0 şeklinde çarpanlara ayırabiliriz, burada a ve b kök değerleridir.

4. Bu Formülü kullanarak Denklemi Çarpanlarına ayırın:

(2x2 + mx - 3n = 0) = [(x - (-1 + i))(x - (-1 - i))] = [(x + 1 - i)(x + 1 + i)] = (x2 + 2x + 1 - i2)(x2 + 2x + 1 + i2) = (x2 + 2x + 2)(x2 + 2x)

5. Çarpanları Karşılaştırın:

(2x2 + mx - 3n = 0) = (x2 + 2x + 2)(x2 + 2x)

2x2 + 2x terimleri, denklemin her iki tarafında da ortak faktördür. Bunları iptal edebiliriz:

= (x2 + mx - 3n) / (x2 + 2x) = 1

6. m ve n Değerlerini Bulun:

x2 + mx - 3n = x2 + 2x = mx - 3n = 2x = mx - 2x = 3n = (m - 2)x = 3n = x = 3n / (m - 2)

7. Verilen Kök (-1 + i) Değeriyle Kontrol Edin:

(-1 + i) denklemin bir kökü olduğuna göre, x'in değerini (-1 + i) olarak değiştirmeliyiz:

= (-1 + i) = 3n / (m - 2) = (-1 + i)(m - 2) = 3n

8. Çarpanlara Ayırın:

(-1 + i)(m - 2) = 3n = (-1m + 2i - i + 2) = 3n = (-m + i + 2) = 3n

9. Gerçek ve İmgesel Kısımları Karşılaştırın:

Gerçek kısım: -m + 2 = 3n İmgesel kısım: i = 3n

10. İmgesel Kısım 0'a Eşitlenemez:

İmgesel kısımda i = 3n olduğuna göre, 3n'in 0'a eşit olması mümkün değildir.

11. Gerçek Kısımdaki n Değerini Bulun:

-m + 2 = 3n = 2 = 3n + m = n = (2 - m) / 3

12. m ve n Değerlerini Çarparak m.n'yi Bulun:

m.n = ((2 - m) / 3).m = (2m - m2) / 3 = 2m / 3 - m2 / 3

13. m değerini bulmak için kullanılan formülü çarparak açın:

m = -1 + 2 (-1+i) + 2(1+i)2 m = -1 + 2 (-1+i) + 2 (1 +2i +i^2) m = -1 -2 +2i + 2 +4i -2 m = (-3) + (6i)

14. Cevap:

m.n = 2m / 3 - m2 / 3 = (2)(-3) / 3 - (-3)2 / 3 = 16 / 3 + 9 / 3 = 16+9/3 = 25 /3

Sonuç: Cevap (A) (16/3)

15. Cevap Yeniden Vurgulama:

m.n'in (2 - m) / 3 ve m2 / 3 farkı olduğunu ve bu farkın 3'e bölünmesinden kaynaklandığını, yani 2m / 3 - m2 / 3 = (2 - m) / 3 . m olduğunu hatırlamak önemlidir. Bu, tüm cevaplara böldüğünüz m değerini yerine koyarsanız ne demek istediğimi daha iyi anlayabilirsiniz.