X≠1 olmak üzere x³+x²+ 3x–5 = 0 olduğuna göre x+5/x ifadesinin değeri kactır?

Denklemi x ile çarparsak:

x⁴ + x³ + 3x² – 5x = 0

Denklemin x³ + 3x² terimlerinden x² (x² + 3) ifadesini çıkaralım:

x⁴ + x³ - x² (x² +3) - 5x = 0

x⁴ - x⁴ - 3x² + 1x³ + 3x² - 5x = 0

x³ - 5x = 0

x (x² - 5) = 0

x = 0 veya x² - 5 = 0

x² - 5 = 0 ise,

x² = 5 x = ± √5 ≠ 1 (verilen koşula göre)

x = 0 veya x = ± √5 olduğundan,

x³ + x² + 3x - 5 = (x - 0) (x - √5) (x + √5) = x (x - √5) (x + √5)

x + 5/x = (x - √5) (x + √5)/x

= (x² - 5)/x = -5/x