Yukarıdaki şekilde B(-3,2) noktasından geçen ve eğimi m=1olan d doğrusu , C noktasında çembere teğettir.Merkezinin koordinatları M(0,1) olan çemberin genel denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A)(mathrm{x^{2}+y^{2}-2y-8=0})B) (mathrm{x^{2}+y^{2}+2y+7=0} )C) (mathrm{x^{2}+y^{2}+2y-7=0} )D) (mathrm{x^{2}+y^{2}-2y=0} )E) (mathrm{x^{2}+y^{2}-2y-7=0} )

1. Adım: Soruyu dikkatli bir şekilde okuyup teğet doğrunun eğiminin 1 ve çemberin merkez koordinatlarının M(0,1) olduğunu belirtiyoruz.

2. Adım: Çemberin yarıçapı, merkez noktadan teğet doğrusuna olan mesafeye eşittir. Teğet doğrusunun yarıçapla yaptığı açı 90 derece olduğundan, teğet doğrusunun denklemini bulmak için öncelikle teğet doğrusunun y-kesimini bulmalıyız.

3. Adım: Çemberin merkez koordinatları M(0,1)'den geçen ve teğet olan d doğrusunun y-kesimini bulmak için çemberin genel denklemini kullanırız:

(x - h)² + (y - k)² = r² h: merkez noktasının x koordinatı k: merkez noktasının y koordinatı r: yarıçap

4. Adım: Çemberin genel denklemini M(0,1) koordinatları ile değiştirdiğimizde:

(x - 0)² + (y - 1)² = r² x² + (y - 1)² = r²

5. Adım: Teğet doğrusunun eğimi 1 olduğundan, teğet doğrusunun denklemi:

y = x + b olmalıdır.

6. Adım: Teğet doğrusunun çemberin merkezinden geçtiğini biliyoruz. Yani teğet doğrusu M(0,1) noktasından geçer. Bu noktayı teğet doğrusunun denklemine yerleştirdiğimizde, y-kesimini buluruz:

1 = 0 + b b = 1

7. Adım: Buradan, teğet doğrusunun denklemi:

y = x + 1 oluyor.

8. Adım: Teğet doğrusunun, çemberin merkezinden geçen bir yarıçap olduğunu biliyoruz. Yani teğet doğrusunun çembere tam olarak bir noktada temas ettiği anlamına geliyor. Bu temas noktasına C noktası diyoruz.

9. Adım: C noktası, hem çemberin üzerinde hem de teğet doğrusu üzerindedir. Yani C noktasının koordinatları, hem çemberin genel denklemini hem de teğet doğrusunun denklemini karşılar.

10. Adım: C noktası için çemberin genel denklemini kullanarak:

(0 - 0)² + (C - 1)² = r²

C² - 2C + 1 = r²

11. Adım: C noktası için teğet doğrusunun denklemini kullanarak:

C = 0 + b = 1

12. Adım: C noktası için iki denklemde bulduğumuz C = 1 ve C² = r² yazıyoruz.

13. Adım: İki denklemi eşitleyerek:

r² = 1

r = 1 Yani çemberin yarıçapı 1'dir.

14. Adım: Çemberin genel denklemine yarıçapı 1'i yerine yazınca:

(x - 0)² + (y - 1)² = 1²

x² + (y - 1)² = 1

x² + y² - 2y + 1 = 1

x² + y² - 2y = 0 olur.

Cevap: E) (x² + y² - 2y = 0)