Geometrik bir dizinin ilk n terim toplamı (mathrm{S_{n}} ) olmak üzere  (mathrm{dfrac{S_{2}}{S_{4}}=dfrac{1}{65}} )  olduğuna göre bu geometrik dizinin ortak çarpanının pozitif değeri kaçtır?A)(5 )B) (6 )C) (7 )D) (8 )E) (9 )

1. Geometrik Dizi: Her terimi bir önceki terimin aynı sayı ile çarpılmasıyla oluşan dizidir.

2. Ortak Çarpan (r): Geometrik dizideki her iki terimin oranına ortak çarpan denir.

3. Dizinin İlk n Terim Toplamı: Geometrik dizideki ilk n terimin toplamına S{n} denir.

4. Soruda verilen denklemde, S{2} ve S{4} ilk 2 ve ilk 4 terimin toplamlarını temsil eder.

5. Denklem, (S_2)/(S_4) = 1/65 şeklindedir. Bu denklem, ilk 2 terimin toplamının ilk 4 terimin toplamının 1/65'ine eşit olduğunu gösterir.

6. İlk 2 terimin toplamı r + r^2 olur ve ilk 4 terimin toplamı r + r^2 + r^3 + r^4 olur.

7. Denklemdeki eşitlik, r + r^2 / r + r^2 + r^3 + r^4 = 1/65 olarak yazılabilir.

8. Bu eşitliğin paydaları aynı yapılarak *(r + r^2) (r^3 + r^4) = r + r^2 + r^3 + r^4 olur.

9. Denklemde çarpım yapılarak r^5 + r^6 = r^4 + r^5 + r^6 + r^7 haline gelir.

10. Her iki taraftan ortak terimler çıkararak **r^6 - r^5 = r^6 + r^7 - r^4 - r^5 gelir.

11. Denklem yeniden düzenlenerek r^7 - 2r^6 - 3r^5 + r^4 = 0 haline gelir.

12. **Faktörize edilen denklem, r^4(r-8)(r+1) = (r^4)(r^2-8r+8)(r+1) = 0 olur.

13. Denklemin kökleri bulunarak r=0, r=8, r=1 bulunur. Ortak çarpanın pozitif olması istendiği için r=8** cevabı bulunur.

Cevap: D) 8