(mathrm{(x^3+2y)^n=...+a.x^9.y^4+...}) açılımındaki a gerçek sayısının değeri kaçtır?A)500B) 560C) 660D) 700E) 720

1. Açılım:

   Bir ifadeyi veya parantez içindeki bir terimi çarpanlarına ayırma işlemidir.

2. Binom Açılımı:

İki terimin toplamının üssü alınırken her iki terimin de üssünün aldığı kuvvetin katsayıları ile ilgili bir açılımdır.

Örneğin: (x + y)² = x² + 2xy + y²

3. Soruda verilen açılım:

(x³ + 2y )^n = … + a.x⁹ . y⁴ + ...

Burada n bilinmeyen bir pozitif tam sayıdır ve a bulunması gereken gerçek sayıdır.

4. Açılım katsayılarının belirlenmesi:

Açılımdaki her terimin katsayısı n!/ (n-k)! / k! formülüyle bulunur. Burada n bilinmeyen üs, k ise açılımdaki o terimin üssüdür.

5. Sorudaki terimin katsayısının bulunması:

Açılımdaki a.x⁹.y⁴ teriminin katsayısını bulmak istiyoruz.

K:

n != (n-k)!×k!

• 9: İlk terimdeki x kuvvetinin üssü.
• 4: İlk terimdeki y kuvvetinin üssü.
• 15: toplam kuvvet, x kuvveti ile y kuvvetinin toplamı.

formülüyle hesaplayabiliriz.

a = n!/ (n-9)! / 9! = (n-9)!/(n-15)!

6. Sonuç:

Burada n bilinmeyen bir pozitif tam sayıdır ve n>15 olmalıdır. a'nın değeri 560'dır.

Cevap: B) 560